Селитренное городище

МАТЕМАТИКА: СИСТЕМЫ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ

СИСТЕМЫ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ

Теорию многомерных матриц и многомерных определителей можно применить для исследования конечномерных алгебр и систем гиперкомплексных чисел. В будущем этот метод станет основным для исследования гиперкомплексных чисел.

Два совершенно различных на первый взгляд направления алгебры – многомерные матрицы и гиперкомплексные числа – на самом деле могут быть взаимосвязаны. Многомерные матрицы и многомерные определители можно примененить для описания конечномерных алгебр. Алгебры до сих пор было принято задавать с помощью так называемой таблицы умножения мнимых единиц. Однако это не единственный способ описания алгебр. Предлагается перейти от «таблицы умножения» мнимых единиц к заданию умножения с помощью пространственной матрицы. Билинейное умножение векторов –мерного пространства может быть задано с помощью трёхмерной матрицы аналогично тому, как линейные операторы задаются двумерными матрицами. Также можно рассматривать не только билинейные, но и полилинейные операции - полилинейный оператор определяется матрицей размерности n+1. Получаем возможность, исследуя только числовую матрицу, изучить все алгебраические свойства той или иной системы гиперкомплексных чисел.
Для того, чтобы построить матрицу конечномерной алгебры, рассмотрим разложение произведений eiej по базису линейного пространства и составим из этих n2 векторов пространственную матрицу, расположив в ней все n3 структурных констант данной алгебры. Каждая числовая система, в частности, комплексных, двойных чисел, а также кватернионов, порождается некоторым билинейным оператором. Векторное умножение в трёхмерном пространстве также может быть задано матрицей, а тот факт что в системе отсутствует единичный элемент по умножению отражается определённым образом на строении этой матрицы.
Отождествляя оператор с некоторой матрицей, далее все свойства системы гиперкомплексных чисел могут быть исследованы с помощью исследования строения этой матрицы, потому что она однозначно определяет систему. Принципиально новым подходом является применение многомерной матрицы вместо таблицы умножения элементов. Изучение и полная классификация гиперкомплексных числовых систем таким образом сводится к изучению пространственных матриц, их строения и определителей.
Данный подход разрабатывается автором с 1992 года. Было проведено подробное исследование многих свойств гиперкомплексных систем, (в частности ассоциативность, наличие единицы, наличие делителей нуля в системе, бинарная разложимость и другие свойства) с помощью описания строения и детерминантов их многомерных матриц. Возможны также многочисленные приложения такого подхода к геометриям, связанным с соответствующими гиперкомплексными системами чисел.